Как сделать чертеж кривой второго порядка


  • Определить вид кривой второго порядка онлайн

    Приведём примеры кривых второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

    Кривая

    Уравнение Канонический вид Тип Измерение
    9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 x^2=1 Две параллельные прямые Кривая
    x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 y^2=4sqrt(2)x Парабола Линия
    5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 x^2/(1/sqrt(2sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2sqrt(2)+3))^2=0 Вырожденный эллипс Линия
    5x^2+ 4xy+8y^2+8x+14y+5=0 x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 Эллипс

    Ислледование на определение вида кривой будет выглядеть примерно так:

    Имеется два способа: Прямой метод и метод инвариантов:

    Дано ур-ние кривой 2-порядка: $ x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} чертеж + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Вычислим определитель $$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$ или, подставляем $$\Delta = \left|\begin{matrix}5 & 20 & 8\end{matrix}\right|$$ $$\Delta = 36$$ Т.к. $$\Delta$$ не равен 0, то находим центр канонической системы координат. Для решаем систему уравнений $$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$ $$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$ подставляем коэффициенты $ x_{0} + 2 y_{0} + 4 = 0$$ $ x_{0} + 8 y_{0} + 7 = 0$$ тогда $$x_{0} = - \frac{1}{2}$$ $$y_{0} = - \frac{3}{4}$$ Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y' $$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$ где $$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$ или $$a'_{33} = 4 x_{0} + 7 y_{0} + 5$$ $$a'_{33} = - \frac{9}{4}$$ тогда ур-ние превратится в $ x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Делаем поворот системы полученной координат на угол φ $$x' = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$ $$y' = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$ φ - определяется из формулы $$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$ подставляем коэффициенты $$\cot{\left (2 \phi \right )} = - \frac{3}{4}$$ тогда $$\phi = - \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$ $$\sin{\left (2 \phi \right )} = - \frac{4}{5}$$ $$\cos{\left (2 \phi \right )} = \frac{3}{5}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ подставляем коэффициенты $$x' = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}$$ $$y' = - \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y$$ тогда ур-ние превратится из $ x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ в $ \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right)^{2} + 4 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right) \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right) + 5 \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right)^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ упрощаем $ \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Данное уравнение является эллипсом $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду.
    Центр канонической системы координат в точке O:

    (-1/2, -3/4)

    Базис канонической системы координат $$\vec e_1 = \left ( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad - \frac{\sqrt{5}}{5}\right )$$ $$\vec e_2 = \left ( \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right )$$

    Метод инвариантов

    Дано ур-ние линии 2-порядка: $ x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$

    |a11 a12| I2 = | | |a12 a22|

    $$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\a_{12} & a_{22} & a_{23}\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left как сделать чертеж кривой второго порядка (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$

    |a11 a13| |a22 a23| K2 = | | + | | |a13 a33| |a23 a33|

    подставляем коэффициенты $$I_{1} = 13$$

    |5 2| I2 = | | |2 8|

    $$I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 2 & 40 & 8 & 7

    Определить вид кривой второго порядка онлайн

    Приведём примеры кривых второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

    Кривая

    Уравнение Канонический вид Тип Измерение
    9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 x^2=1 Две параллельные прямые Кривая
    x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 y^2=4sqrt(2)x Парабола Линия
    5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 x^2/(1/sqrt(2sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2sqrt(2)+3))^2=0 Вырожденный эллипс Линия
    5x^2+ 4xy+8y^2+8x+14y+5=0 x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 Эллипс

    Ислледование на определение вида кривой будет выглядеть примерно так:

    Имеется два способа: Прямой метод и метод инвариантов:

    Дано ур-ние кривой 2-порядка: $ x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Вычислим определитель $$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$ или, подставляем $$\Delta = \left|\begin{matrix}5 & 20 & 8\end{matrix}\right|$$ $$\Delta = 36$$ Т.к. $$\Delta$$ не равен 0, то находим центр канонической системы координат. Для решаем систему уравнений $$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$ $$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$ подставляем коэффициенты $ x_{0} + 2 y_{0} + 4 = 0$$ $ x_{0} + 8 y_{0} + 7 = 0$$ тогда $$x_{0} = - \frac{1}{2}$$ $$y_{0} = - \frac{3}{4}$$ Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y' $$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$ где $$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$ или $$a'_{33} = 4 x_{0} + 7 y_{0} + 5$$ $$a'_{33} = - \frac{9}{4}$$ тогда ур-ние превратится в $ x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Делаем поворот системы полученной координат на угол φ $$x' = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$ $$y' = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$ φ - определяется из формулы $$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$ подставляем коэффициенты $$\cot{\left (2 \phi \right )} = - \frac{3}{4}$$ тогда $$\phi = - \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$ $$\sin{\left (2 \phi \right )} = - \frac{4}{5}$$ $$\cos{\left (2 \phi \right )} = \frac{3}{5}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ подставляем коэффициенты $$x' = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}$$ $$y' = - \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y$$ тогда ур-ние превратится из $ x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ в $ \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right)^{2} + 4 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right) \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right) + 5 \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right)^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ упрощаем $ \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Данное уравнение является эллипсом $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду.
    Центр канонической системы координат в точке O:

    (-1/2, -3/4)

    Базис канонической системы координат $$\vec e_1 = \left ( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad - \frac{\sqrt{5}}{5}\right )$$ $$\vec e_2 = \left ( \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right )$$

    Метод инвариантов

    Дано ур-ние линии 2-порядка: $ x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$

    |a11 a12| I2 = | | |a12 a22|

    $$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\a_{12} & a_{22} & a_{23}\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$

    |a11 a13| |a22 a23| K2 = | | + | | |a13 a33| |a23 a33|

    подставляем коэффициенты $$I_{1} = 13$$

    |5 2| I2 = | | |2 8|

    $$I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 2 & 40 & 8 & 7

    Определить вид кривой второго порядка онлайн

    Приведём примеры кривых второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

    Кривая

    Уравнение Канонический вид Тип Измерение
    9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 x^2=1 Две параллельные прямые Кривая
    x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 y^2=4sqrt(2)x Парабола Линия
    5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 x^2/(1/sqrt(2sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2sqrt(2)+3))^2=0 Вырожденный эллипс Линия
    5x^2+ 4xy+8y^2+8x+14y+5=0 x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 Эллипс

    Ислледование на определение вида кривой будет выглядеть примерно так:

    Имеется два способа: Прямой метод и метод инвариантов:

    Дано ур-ние кривой 2-порядка: $ x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Вычислим определитель $$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$ или, подставляем $$\Delta = \left|\begin{matrix}5 & 20 & 8\end{matrix}\right|$$ $$\Delta = 36$$ Т.к. $$\Delta$$ не равен 0, то находим центр канонической системы координат. Для решаем систему уравнений $$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$ $$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$ подставляем коэффициенты $ x_{0} + 2 y_{0} + 4 = 0$$ $ x_{0} + 8 y_{0} + 7 = 0$$ тогда $$x_{0} = - \frac{1}{2}$$ $$y_{0} = - \frac{3}{4}$$ Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y' $$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$ где $$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$ или $$a'_{33} = 4 x_{0} + 7 y_{0} + 5$$ $$a'_{33} = - \frac{9}{4}$$ тогда ур-ние превратится в $ x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Делаем поворот системы полученной координат на угол φ $$x' = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$ $$y' = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$ φ - определяется из формулы $$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$ подставляем коэффициенты $$\cot{\left (2 \phi \right )} = - \frac{3}{4}$$ тогда $$\phi = - \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$ $$\sin{\left (2 \phi \right )} = - \frac{4}{5}$$ $$\cos{\left (2 \phi \right )} = \frac{3}{5}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ подставляем коэффициенты $$x' = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}$$ $$y' = - \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y$$ тогда ур-ние превратится из $ x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ в $ \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right)^{2} + 4 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right) \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right) + 5 \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right)^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ упрощаем $ \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Данное уравнение является эллипсом $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду.
    Центр канонической системы координат в точке O:

    (-1/2, -3/4)

    Базис канонической системы координат $$\vec e_1 = \left ( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad - \frac{\sqrt{5}}{5}\right )$$ $$\vec e_2 = \left ( \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right )$$

    Метод инвариантов

    Дано ур-ние линии 2-порядка: $ x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$

    |a11 a12| I2 = | | |a12 a22|

    $$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\a_{12} & a_{22} & a_{23}\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left как сделать чертеж кривой второго порядка (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$

    |a11 a13| |a22 a23| K2 = | | + | | |a13 a33| |a23 a33|

    подставляем коэффициенты $$I_{1} = 13$$

    |5 2| I2 = | | |2 8|

    $$I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 2 & 40 & 8 & 7

    Определить вид кривой второго порядка онлайн

    Приведём примеры кривых второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

    Кривая

    Уравнение Канонический вид Тип Измерение
    9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 x^2=1 Две параллельные прямые Кривая
    x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 y^2=4sqrt(2)x Парабола Линия
    5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 x^2/(1/sqrt(2sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2sqrt(2)+3))^2=0 Вырожденный эллипс Линия
    5x^2+ 4xy+8y^2+8x+14y+5=0 x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 Эллипс

    Ислледование на определение вида кривой будет выглядеть примерно так:

    Имеется два способа: Прямой метод и метод инвариантов:

    Дано ур-ние кривой 2-порядка: $ x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Вычислим определитель $$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$ или, подставляем $$\Delta = \left|\begin{matrix}5 & 2\2 & 8\end{matrix}\right|$$ $$\Delta = 36$$ Т.к. $$\Delta$$ не равен 0, то находим центр канонической системы координат. Для решаем систему уравнений $$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$ $$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$ подставляем коэффициенты $ x_{0} + 2 y_{0} + 4 = 0$$ $ x_{0} + 8 y_{0} + 7 = 0$$ тогда $$x_{0} = - \frac{1}{2}$$ $$y_{0} = - \frac{3}{4}$$ Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y' $$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$ где $$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$ или $$a'_{33} = 4 x_{0} + 7 y_{0} + 5$$ $$a'_{33} = - \frac{9}{4}$$ тогда ур-ние превратится в $ x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Делаем поворот системы полученной координат на угол φ $$x' = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$ $$y' = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$ φ - определяется из формулы $$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$ подставляем коэффициенты $$\cot{\left (2 \phi \right )} = - \frac{3}{4}$$ тогда $$\phi = - \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$ $$\sin{\left (2 \phi \right )} = - \frac{4}{5}$$ $$\cos{\left (2 \phi \right )} = \frac{3}{5}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ подставляем коэффициенты $$x' = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}$$ $$y' = - \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y$$ тогда ур-ние превратится из $ x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ в $ \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right)^{2} + 4 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right) \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right) + 5 \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right)^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ упрощаем $ \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Данное уравнение является эллипсом $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду.
    Центр канонической системы координат в точке O:

    (-1/2, -3/4)

    Базис канонической системы координат $$\vec e_1 = \left ( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad - \frac{\sqrt{5}}{5}\right )$$ $$\vec e_2 = \left ( \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right )$$

    Метод инвариантов

    Дано ур-ние линии 2-порядка: $ x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$

    |a11 a12| I2 = | | |a12 a22|

    $$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\a_{12} & a_{22} & a_{23}\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$

    |a11 a13| |a22 a23| K2 = | | + | | |a13 a33| |a23 a33|

    подставляем коэффициенты $$I_{1} = 13$$

    |5 2| I2 = | | |2 8|

    $$I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 2 & 4\2 & 8 & 7\4 & 7 & 5\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 5 & 2\2 & - \lambda + 8\end{matrix}\right|$$

    |5 4| |8 7| K2 = | | + | | |4 5| |7 5|

    $$I_{1} = 13$$ $$I_{2} = 36$$ $$I_{3} = -81$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 13 \lambda + 36$$ $$K_{2} = 0$$ Т.к. $$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$ то по признаку типов линий:
    данное уравнение имеет тип : эллипс.
    Составляем характеристическое уравнение для нашей линии: $$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$ или $$\lambda^{2} - 13 \lambda + 36 = 0$$ $$\lambda_{1} = 9$$ $$\lambda_{2} = 4$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$ или $ \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду.

    & 7 & 5\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 5 & 20 & - \lambda + 8\end{matrix}\right|$$

    |5 4| |8 7| K2 = | | + | | |4 5| |7 5|

    $$I_{1} = 13$$ $$I_{2} = 36$$ $$I_{3} = -81$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 13 \lambda + 36$$ $$K_{2} = 0$$ Т.к. $$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$ то по признаку типов линий:
    данное уравнение имеет тип : эллипс.
    Составляем характеристическое уравнение для нашей линии: $$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$ или $$\lambda^{2} - 13 \lambda + 36 = 0$$ $$\lambda_{1} = 9$$ $$\lambda_{2} = 4$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$ или $ \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду.

    & 7 & 5\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 5 & 20 & - \lambda + 8\end{matrix}\right|$$

    |5 4| |8 7| K2 = | | + | | |4 5| |7 5|

    $$I_{1} = 13$$ $$I_{2} = 36$$ $$I_{3} = -81$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 13 \lambda + 36$$ $$K_{2} = 0$$ Т.к. $$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$ то по признаку типов линий:
    данное уравнение имеет тип : эллипс.
    Составляем характеристическое уравнение для нашей линии: $$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$ или $$\lambda^{2} - 13 \lambda + 36 = 0$$ $$\lambda_{1} = 9$$ $$\lambda_{2} = 4$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$ или $ \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду.

    & 7 & 5\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 5 & 20 & - \lambda + 8\end{matrix}\right|$$

    |5 4| |8 7| K2 = | | + | | |4 5| |7 5|

    $$I_{1} = 13$$ $$I_{2} = 36$$ $$I_{3} = -81$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 13 \lambda + 36$$ $$K_{2} = 0$$ Т.к. $$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$ то по признаку типов линий:
    данное уравнение имеет тип : эллипс.
    Составляем характеристическое уравнение для нашей линии: $$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$ или $$\lambda^{2} - 13 \lambda + 36 = 0$$ $$\lambda_{1} = 9$$ $$\lambda_{2} = 4$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$ или $ \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду.



    Рекомендуем посмотреть ещё:


    Закрыть ... [X]

    На Студопедии вы можете прочитать про: Кривые второго порядка. Подробнее Как сделать откосы мансардного окна

    Как сделать чертеж кривой второго порядка Как сделать чертеж кривой второго порядка Как сделать чертеж кривой второго порядка Как сделать чертеж кривой второго порядка Как сделать чертеж кривой второго порядка Как сделать чертеж кривой второго порядка